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By Martin Goldstern

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A1 × A2 × A3 ∼ = (A1 × A2 ) × A3 ∼ = ” A1 × (A2 × A3 ). Allgemein: Wenn die Indexmenge I eine disjunkte Vereinigung I = k∈K Jk ist, dann ist das Produkt u uber der Indexmenge ¨ber I kanonisch isomorph zu einem Produkt (¨ K) von Produkten: Bk mit Bk := Aj . Ai ∼ = i∈I j∈Jk k∈K 3. Wenn die Indexmenge K nur ein einziges Element k0 enth¨alt, dann ist k∈K Ak formal die Menge aller Funktionen f : {k0 } → Ak0 . Die Abbildung, die jeder solchen Funktion ihren Wert an der Stelle k0 zuordnet, ist eine Bijektion zwischen den Mengen k∈{k0 } Ak und k∈{k0 } Ak und Ak0 , bzw.

B) ⇒ a) und b) ⇔ c) sind trivial. c) ⇔ d): xN x−1 = N ⇒ xN = xN x−1 x = N x ⇒ xN x−1 = N xx−1 = N f¨ ur alle x ∈ G. 31 Satz. Sei (G, ·, e, −1 ) eine Gruppe, N ⊳ G und π durch xπy :⇔ x−1 y ∈ N , x, y ∈ G definiert. Dann ist π eine Kongruenzrelation auf G mit [e]π = N . ¨ Beweis. π ist eine Aquivalenzrelation und [x]π = xN = N x. π ist Kongruenz: x1 = y1 n1 mit n1 ∈ N (da x1 ∈ y1 N ) x1 πy1 ⇒ x2 πy2 x2 = n2 y2 mit n2 ∈ N (da x2 ∈ N y2 ) ⇒ x1 x2 = y1 n1 n2 y2 ∈ y1 N y2 = y1 y2 N ⇒ x1 x2 πy1 y2 . ⇒ Weiters gilt [e]π = eN = N .

Xm erzeugte abelsche Gruppe, dann gilt: k × Cn1 × · · · × Cnr , G∼ = C∞ 0 := {e}), n ∈ N, r ≥ 0. Dabei gilt: G endlich ⇔ k = 0. ) Den Beweis dieses Satzes werden wir sp¨ater kennenlernen. 9 Beispiel. 1) Alle abelschen Gruppen mit 12 Elementen sind — bis auf Isomorphie — gegeben durch C12 (∼ = C3 × C4 ) und C2 × C6 (∼ = C2 × C2 × C3 ). 2) Alle abelschen Gruppen mit 8 Elementen sind — bis auf Isomorphie — gegeben durch C8 , C2 × C4 und C2 × C2 × C2 . Zur n¨achsten Definition vgl. den Begriff direkte Summe“ V = U1 ⊕ U2 ⊕ · · · ⊕ Un aus der ” Linearen Algebra (U1 , U2 , .

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