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By Patrice Tauvel

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Soit toujours f = (fn )n une suite de fonctions sur X . Si Y est une partie de X , notons g = (fn |Y )n . Par abus de langage, on dit que f converge simplement sur Y si g converge simplement sur Y . 4. 5. Soient X un ensemble et f = (f n )n une suite de fonctions sur X . Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) La suite f converge simplement sur X . (ii) Pour tout x ∈ X , la suite fn (x) n est une suite de Cauchy. 1. On dit qu’une suite f = (f n )n de fonctions sur X converge uni- formément s’il existe une fonction f sur X telle que, pour tout ε > 0, on puisse déterminer N ∈ N tel que, pour tout n N : sup{|fn (x) − f (x)| ; x ∈ X} ε.

Montrer que la suite (gn )n converge uniformément sur I . 5. Soit f : [0, 1] → R une application continue. Etablir : 1 f (t) dt = lim x→+∞ 0 1 ∞ (1)n−1 n! n=1 e(nx(1−t) f (t) dt . 6. Pour n ∈ N∗ et (x, y) ∈ R2 , on pose : 1 −n(x2 +y2 ) e . n2 ∞ n=1 fn et la différentiabilité de la somme F de fn (x, y) = Etudier la convergence de la série cette série. 7. Existence et calcul pour x > 0 de ∞ 1 n! n=1 x (ln t)n dt. 0 SOLUTIONS DES EXERCICES 0 vérifiant |f (x)| A pour tout x ∈ [a, b]. On a |f1 (x)| A(x − a).

Il est immédiat que un (b − a)1/n M pour tout n. On en déduit que lim sup u M. Soit ε ∈ ]0, M [. L’application f étant continue, par définition de M , il existe des réels c, d vérifiant a c < d b et f (t) M − ε pour tout t ∈ [c, d]. Alors d 1/n [f (t)]n dt un (d − c)1/n (M − ε). c D’où lim inf u M − ε. 6. M. lim sup u, il vient lim inf u = lim sup u, et on conclut d’après √ √ 3)n =√ N + N 3, avec N,√N ∈ N. On a alors (2 − 3)n = N − N √3. D’où π(2 + 3)n = 2πN − π(2 − 3)n . Par√suite, si l’on n pose vn = sin[π(2 √ − n 3) ], il vient un = −vn .