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By Arnaud Bodin et al.

Ce livre s'adresse aux étudiants de licence scientifique. Clair, complet et convivial, c'est l'outil de travail idéal pour aborder sereinement le programme de mathématiques du supérieur. Ce tome suggest l'intégralité du cours d'analyse de première année, illustré par de nombreuses figures et des exemples traités en détails. Cet ouvrage, issu du projet Exo7, se complète par des ressources en ligne : vidéos de cours ou exercices corrigés. Vous avez en major tout pour réussir votre première année ! Chapitres du livre Les nombres réels Les suites Limites et fonctions maintains Fonctions usuelles Dérivée d’une fonction Intégrales Développements limités Courbes paramétrées Équations différentielles Leçons de choses

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LIMITES 42 y +1 cos x x −π 0 π 2π 3π sin x −1 Mini-exercices. 1. Soit U =] − ∞, 0[ et f : U → définie par f (x) = 1/x. f est-elle monotone ? Et sur U =]0, +∞[ ? Et sur U =] − ∞, 0[ ∪ ]0, +∞[ ? 2. Pour deux fonctions paires que peut-on dire sur la parité de la somme ? du produit ? et de la composée ? Et pour deux fonctions impaires ? Et si l’une est paire et l’autre impaire ? 3. On note {x} = x − E(x) la partie fractionnaire de x. Tracer le graphe de la fonction x → {x} et montrer qu’elle est périodique.

La fonction f étant décroissante, la fonction f ◦ f est croissante. Et on applique la proposition 14 à la fonction f ◦ f et à la sous-suite (u2n ) définie par récurrence u2 = f ◦ f (u0 ), u4 = f ◦ f (u2 ),. . De même en partant de u1 et u3 = f ◦ f (u1 ),. . Exemple 18. f (x) = 1 + 1 , x u0 > 0, un+1 = f (un ) = 1 + 1 un 1. Étude de f . La fonction f :]0, +∞[→]0, +∞[ est une fonction continue et strictement décroissante. 2. Graphe de f . y 2 1 u0 1 u2 u3 2 u1 x Le principe pour tracer la suite est le même qu’auparavant : on place u0 , on trace u1 = f (u0 ) sur l’axe des ordonnées et on le reporte par symétrie sur l’axe des abscisses,...

Elle parcoure bien toute la distance en 1 + 12 + 14 + 18 + · · · = 2 secondes ! 3. Suites telles que un+1 un 1 2 1 4 < <1 Théorème 1. Soit (un )n∈ une suite de réels non nuls. On suppose qu’il existe un réel (ou seulement à partir d’un certain rang) on ait : tel que pour tout entier naturel n un+1 < < 1. un Alors limn→+∞ un = 0. Démonstration. On suppose que la propriété un+1 un < < 1 est vraie pour tout entier naturel n (la preuve dans le cas où cette propriété n’est vraie qu’à partir d’un certain rang n’est pas très différente).

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