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By Prof. Dr. Konrad Königsberger (auth.)

Dieses Lehrbuch, das bereits in der 6. Auflage vorliegt, wendet sich an Studierende der Mathematik, Physik und Informatik. Es präsentiert systematisch und prägnant den Kanon der research für das erste Studienjahr inklusive Fourierreihen und einfacher Differentialgleichungen. Großer Wert wird auf sachbezogene Motivation und erläuternde Beispiele gelegt. Nahezu 250 Übungsaufgaben unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades mit ausgearbeiteten Lösungen ergänzen den Lehrtext.

Einen besonderen Reiz erhält das Buch durch die zahlreichen historischen und biographischen Anmerkungen sowie die eingestreuten Perlen der klassischen Analysis.

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D Wir unt erstellen jetzt wieder den Fundamentalsat z der Algebra und nehmen den Nenner der rationalen Funk tion R in folgender Gestalt an: (10) Außerdem nehmen wir an, daß 0' 1 , . . , a s keine Nullstellen des Zählers = f 109 hat dann genau in 0' ] , . ,n s . Sind H ] , ... ,H; die jeweiligen Haup tteile von R bestehend aus Linearkombinationen von n] , . ri; Partialbrüchen, so gilt f sind. R (11) IR = H] + ... + H s + q. I Dab ei ist q eine rationale Funktion ohne Pole in C, nach dem Fundament alsat z der Algebr a also der Quotient eines Polynoms und einer Konstanten, folglich ein Polynom.

I Dab ei ist q eine rationale Funktion ohne Pole in C, nach dem Fundament alsat z der Algebr a also der Quotient eines Polynoms und einer Konstanten, folglich ein Polynom. q heißt der Polynom-Anteil von R. Satz von der Partialbruchzerlegung: Jede rationale Funkt ion ist die Sum me ihrer Hauptteile und ihres Pol ynom-Anteils. Herstellung der Partialbruchzerlegung (PBZ) 1. Den Polyno m-Anteil q von R = Rest aus f = qg + r. f ls gewinnt man durch Division mit 38 4 Funktionen Beweis: r := (H I + ..

Für alle sEIN überein, nach dem Identitätssatz also für alle sEC. 3. Das Additionstheorem gilt. Zum Beweis sei sEC fest gewählt. Dann stellen beide Seiten in (6) Polynome in t dar. Diese stimmen nach 2. für alle tEIN überein, nach dem Identitätsatz also für alle tEe. 3 Rationale Funktionen 35 Wir ziehen jetzt auch noch den Fundament alsatz der Algebra heran. Nach diesem kann von jedem Polynom f E C[z] eines Grades n > 0 ein Linearfaktor z - 0:, 0: E C, abgespalten werd en. Dur ch (n - l )-maliges Abspalten und Zusammenfassen gleicher Linearfaktor en erhält man den Satz von der Linearfaktorzerlegung: Jedes nicht konstante Polynom f E C[ z] besitzt eine Darstellung f( z) = a(z - 0:I)k 1 '" (z - O:s) k s.

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