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By Wolfgang Walter (auth.)

Dem erfolgreichen Konzept von Analysis I folgend, wird auch im zweiten Teil dieses zweib?ndigen Analysis-Werkes viel Wert auf historische Zusammenh?nge, Ausblicke und die Entwicklung der research gelegt. Zu den Besonderheiten, die ?ber den kanonischen Stoff des zweiten und dritten Semesters einer Analysisvorlesung hinausgehen, geh?rt das Lemma von Marston Morse. Die Grundtatsachen ?ber die verschiedenen Integralbegriffe werden allesamt aus S?tzen ?ber verallgemeinerte Limites (Moore-Smith-Konvergenz) abgeleitet. Die C?-Approximation von Funktionen (Friedrich Mollifiers) wird ebenso behandelt, wie die Theorie der absolut stetigen Funktionen. Bei den Fourierreihen wird die klassische Theorie in Weiterf?hrung einer von Chernoff und Redheffer entwickelten Methode behandelt. Zahlreiche Beispiele, ?bungsaufgaben und Anwendungen, z.B. aus der Physik und Astronomie runden dieses Lehrbuch ab.

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11, daB A und 8A abgeschlossen sind. 13 Satz iiber Inneres, Rand und abgeschlossene Hiille. Das Innere einer Menge A ist eine offene Menge, der Rand und die abgeschlossene Halle von A sind abgeschlossene M engen. Weiter sieht man leicht, daB jede offene Teilmenge G von A in AO liegt. In der Tat ist jeder Punkt x E G innerer Punkt von G, also von A. Durch Komplementbildung [olgt, daB jede abgeschlossene Obermenge F von A auch § 1. Metrische Riiume. Topologische Grundbegriffe 24 Obermenge der abgeschlossenen Hlille A ist.

3 Stetigkeitsmodul. Eine Funktion (j : [0,00) --+ JR heiBt ein Stetigkeitsmodul, wenn sie monoton wachsend und nichtnegativ ist und fUr s --+ 0+ gegen (j(0) = 0 strebt. 16 aufgestellte Zusammenhang zwischen Stetigkeitsmoduln und der gleichmaBigen Stetigkeit besteht auch im allgemeinen Fall. Lemma. Es seien X, Y metrische Riiume. Die Funktion f : X gleichmii}3ig stetig in X, wenn eine Abschiitzung d(f(x),f(y)) :s; (j(d(x,y)) (So) --+ Y ist genau dann fUr x,y EX, d(x,y):s; a besteht, wobei a eine positive Konstante und (j ein Stetigkeitsmodul ist.

GreDzwert oDd Stetigkeit Der mtihsame Weg von vagen Vorstellungen tiber Grenzwert und Stetigkeit bis hin zur exakten E-b-Formulierung in der WeierstraBschen Schule wurde im ersten Band in § 6 nachgezeichnet. Die Ubertragung dieser Begriffe auf den 1Rn war, nachdem der Abstand zwischen Punkten eingeftihrt war, naheliegend und unmittelbar einleuchtend. Und als dann zu Anfang unseres lahrhunderts der abstrakte metrische Raum auftrat, gab es auch da keine Schwierigkeiten: Anste11e des Abstands la-bl zweier reeller Zahlen trat der Abstand d(a, b) zweier Punkte des metrischen Raumes.

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